Cpk是同时考虑过程中心位置和波动大小的过程能力指数，用于评价尺寸、重量等连续质量特性满足规格要求的能力。在常见的正态能力分析口径下，它分别比较均值距上、下规格限的余量与3倍组内标准差，并取较小结果。Cpk越高，表示相对于这种波动，较紧一侧的规格余量越大；它不是合格率，也不能单独证明过程稳定。
在质量管理中，能力分析回答的是一个具体特性与要求之间的关系。一个轴径的Cpk不能代表整件产品的所有质量，更不能替代产品检验和放行。
Cpk比较什么，规格限与控制限为何不同？
假设图纸规定轴径为10.000 ± 0.100 mm，规格下限LSL为9.900 mm，规格上限USL为10.100 mm。规格宽度是0.200 mm，它表示设计或约定要求允许的范围。过程均值描述生产结果集中在哪里，标准差描述测量值围绕中心的离散程度，两者都要从与研究对象相符的数据中估计。
Cpk关心两侧哪一边更紧：均值越靠近某一规格限，该侧留下的余量越少；波动越大，同样余量能容纳的相对波动就越少。因此，只看均值在规格中间，或者只看一批样品暂时都未超差，都不足以说明过程能力。NIST的过程能力说明以受控过程为基础，将过程变异与规格要求进行比较。[1]
规格限USL、LSL与控制图上的UCL、LCL用途不同。规格限来自图纸、设计或适用要求；控制限依据过程数据、所监控的统计量及控制图方法建立，用于识别时间序列中的异常变化。Cpk公式使用规格限，不能把控制限代进去。[2]
过程可能稳定，却长期围绕偏离规格中点的位置生产；一件产品也可能仍在规格内，而控制图已提示过程发生变化。能力与稳定性需要分别提供证据。控制图的计算、合理分组与异常响应，可进一步参阅SPC统计过程控制。
Cpk怎样计算？一个轴径教学算例
下面采用常见口径：Cp、Cpk使用组内标准差估计，Pp、Ppk使用整体标准差估计。为便于阅读，用σ̂组内表示组内标准差估计，用x̄表示样本总均值。对于有上、下规格限且σ̂组内大于0的情形：
CPU = (USL − x̄) ÷ (3 × σ̂组内)
CPL = (x̄ − LSL) ÷ (3 × σ̂组内)
Cpk = min(CPU，CPL)
CPU评价上侧余量，CPL评价下侧余量；min表示取两者中较小的数，而不是求平均。公式的分子、分母使用相同测量单位，最终指数没有单位。[1]
先说明组内标准差从哪里来
以下规格、均值和平均极差均为教学假设汇总量，不是企业实测。演算以测量可靠、过程稳定且正态模型适用为前提；这些汇总量本身不能证明前提成立。沿用9.900—10.100 mm的规格，设样本总均值为10.020 mm。取样采用合理的等容量子组：每组在相近条件和较短时间内取得5件不同零件。
一组的极差R等于该组最大值减最小值，R̄是各组极差的平均值。采用平均极差法时，等容量子组的组内标准差可估计为σ̂组内 = R̄ ÷ d₂(n)，其中n是每个子组的件数，d₂是对应子组容量的系数。Minitab的方法说明给出这一关系，5件子组对应d₂ = 2.326。它是统计估计系数，不是质量合格阈值。[3]
本例设R̄ = 0.04652 mm，因此：
σ̂组内 = 0.04652 ÷ 2.326 = 0.020 mm
3 × σ̂组内 = 0.060 mm
平均极差法只是组内波动的一种估计方法。也可根据数据结构采用合并标准差、平均子组标准差等方法；若每次只有一个观测值，则常使用相邻观测的移动极差等适当方法。不同方法有对应条件，不能把任意一列数据的样本标准差直接称为“组内标准差”。
分别计算两侧，再取较小值
先算均值与两侧规格的距离，再除以同一个0.060 mm：
| 计算项目 | 代入本例 | 结果 |
|---|---|---|
| 上侧余量 | 10.100 − 10.020 | 0.080 mm |
| 下侧余量 | 10.020 − 9.900 | 0.120 mm |
| CPU | 0.080 ÷ 0.060 | 1.333… |
| CPL | 0.120 ÷ 0.060 | 2.000 |
| Cpk | min(1.333…，2.000) | 约1.33 |
本例上侧余量较小，所以CPU决定Cpk。约1.33的含义是：均值到较紧的上规格限，约等于1.33个“3倍组内标准差”，也就是4个组内标准差。这个结果描述余量与波动的关系，尚不构成“满足某项验收要求”的结论。
如果实际要求只有上限或只有下限，就按真实的一侧计算CPU或CPL，并清楚标为单侧能力；不要为了凑双侧公式添加一个不存在的规格限。例如某项纯度只有最低要求，物理上不能超过100%并不自动意味着100%是客户规定的上规格限。[2]
Cp与Cpk：偏心和离散怎样影响结果？
Cp比较整个规格宽度与6倍组内标准差：Cp = (USL − LSL) ÷ (6 × σ̂组内)。它不使用均值，因此不会因过程中心移动而改变。本例Cp = 0.200 ÷ 0.120 ≈ 1.67，高于Cpk约1.33，说明在这套口径下，中心位置使一侧规格余量比居中时更紧。[4]
把规格固定为9.900—10.100 mm，可用三个独立的教学情形看清两种作用。这些是假设对照，不是已经取得的改善结果。
| 假设情形 | 均值 / mm | σ̂组内 / mm | Cp | Cpk |
|---|---|---|---|---|
| A：原教学条件 | 10.020 | 0.020 | 约1.67 | 约1.33 |
| B：只改变中心 | 10.000 | 0.020 | 约1.67 | 约1.67 |
| C：在B基础上减小波动 | 10.000 | 0.010 | 约3.33 | 约3.33 |
A与B的波动相同，Cp不变；B的均值移到规格中点，两侧余量相等，所以Cpk提高并与Cp相等。B与C的中心相同，标准差减半，两项指数都加倍。实际改善时，中心偏移需要调查设定、补偿或系统性偏差，离散过大需要分析工艺、材料、设备或测量的变异来源，不能仅靠调均值解决全部问题。
在相同双侧规格和相同标准差估计下，Cpk不大于Cp；均值处于规格中点时两者相等。不过，规格中点不一定就是设计要求的目标值，Cpk公式也不直接使用独立的目标值。若偏离目标会影响功能，即使能力指数较高，也仍需单独检查目标符合性。
Cpk与Ppk：为什么同一批数据会得到两个结果？
Cpk与Ppk常被简写为“短期能力”和“长期表现”，但时间长短不是计算上的充分定义。按这里采用的常见口径，关键差别在于分母：Cpk用组内标准差估计，Ppk用全部研究数据的整体标准差估计。后者记作s整体，常见做法是计算全部观测值相对于总均值的样本标准差。[3][5]
例如，每个时点在相近条件下取一小组零件，组内估计主要反映同一子组内部的波动；整体估计则把观察期内所有数据放在一起，包含各子组之间的水平差异。若过程随时间有漂移，或者不同批次的中心不同，整体波动可能明显大于组内波动。反过来，子组安排不合理，也可能把本应显现的组间变化混进组内。
保留本例的规格与均值，另假设同一研究数据的整体标准差为0.025 mm，则：
Ppk = min[(USL − x̄) ÷ (3 × s整体)，(x̄ − LSL) ÷ (3 × s整体)]
Ppk = min(0.080 ÷ 0.075，0.120 ÷ 0.075) ≈ 1.07
这里Cpk约1.33、Ppk约1.07，差别由两种波动估计产生。Ppk较低提示需要检查时间变化、批次差异、分组及数据口径，但差值本身不能确定原因，也不能单独证明过程已经失稳；两项接近，同样不能替代控制图的稳定性判断。
Pp与Cp的关系类似：它用整体标准差比较完整规格宽度，不考虑均值位置；Ppk则同时考虑整体波动与中心。阅读软件或客户报告时，还应核对指标命名、标准差估计方法和分析设置。当前Minitab文档列有不同命名约定，因此不能只看到“Cpk”字样就认定所有报告采用完全相同的计算口径。[8]
计算出的Cpk什么时候才有解释力？
测量与取样要能代表目标过程
Cpk适用于所研究的具体连续特性，分析范围应说明产品、工序、设备、模腔、工况和观察期间。同一零件重复测5次，主要反映重复测量差异，不能自动当作5件产品的过程子组；把不同机台的尺寸随意合在一起，也可能让总均值掩盖各自偏移。合理子组和时间顺序应在采样时保留。[6]
测量系统会进入计算结果：固定偏倚可能改变均值，重复性或人员方法差异会增加观测波动，分辨率不足则可能把本有差异的读数全部记成同一个值。测量系统分析用于辨别这些影响是否足以妨碍当前判断。若估出的标准差为0，常规Cpk公式的分母为0，不能把它当成“无限能力”；应先检查记录、舍入、量具分辨率和数据来源。[7]
数据量和覆盖时段共同影响代表性。连续收集很多件，并不一定覆盖换班、材料批次或正常磨损等预期条件；样本较少时，估计也容易受偶然波动影响。所需数据应结合研究范围、变化来源与估计精度确定，不能仅以达到某个总件数就宣布证据充分。
稳定性与分布适用性要分别检查
常规能力判断以过程有可解释的稳定分布为前提。若均值持续漂移，或波动水平已经改变，把各阶段压成一个均值和标准差，会失去对后续输出的可靠解释。应先按时间查看过程表现，调查特殊原因并明确所评价的阶段；不能因为一个Cpk较高就跳过稳定性分析。Ppk可以描述选定观察期的数据表现，也不会自动消除失稳对未来推断的影响。
正态能力分析还要求正态模型适合所研究的数据。直方图看似钟形不是充分证明，应结合概率图、适当检验及过程知识判断。明显偏态、混合不同来源或存在较强时间相关性时，需要分别检查分层、模型和采样条件。对适合的非正态过程，可以采用经验证的数据变换或相应的非正态能力方法；变换时规格也必须按同一关系处理，不能仅为得到较高指数而删去不利数据。[1][6]
Cpk多少算合格，能否直接换算不良率？
当组内标准差大于0、采用双侧规格时，Cpk为正只说明样本均值位于规格区间内；为0表示均值恰在某一规格限；为负表示均值已越过其中一侧规格。正数不等于合格，负数也不是软件必然算错。Cpk = 1表示较紧一侧余量等于3倍组内标准差，约1.33则对应约4倍，反映的是距离比例。
1.33是许多应用中采用的参考值，Minitab的解释也把它称为常见基准，而不是适用于所有过程的统一准入线。是否满足要求，要依据该特性适用的客户、合同或质量计划，并同时确认数据与方法条件。若规定考察整体表现，不能拿组内Cpk替代Ppk；接近门槛时，也应使用未舍入的结果和约定的判定规则。[4]
此外，样本计算出的Cpk是估计值。不同样本会得到不同结果，置信区间或置信下界用于表达这种抽样不确定性。一个点估计略高于门槛，并不意味着其下界也高于门槛；若验收规则要求下界达标，就需按对应方法和置信水平判断。增加有代表性的数据通常有助于提高估计精度，但不能修复错误的测量、分组或模型。[4]
Cpk也不能直接换成唯一的总不良率。它只保留较紧一侧的信息：同样的Cpk，另一侧规格可能离均值同样近，也可能远得多，两侧超限概率之和因此不同。本例上侧为4个组内标准差、下侧为6个；不能把它当作均值居中、两侧都是4个标准差的情形。
只有在分布模型、稳定性和波动口径适用时，才能进一步估计两侧尾部概率；那仍是模型估计，与样本中实际发现的不合格比例不同，也不覆盖未来未建模的漂移。读一份能力报告，需要把Cpk连同规格、采样范围、标准差方法、时间表现和实际检验结果一起理解，才能判断这个数字究竟支持什么结论。[4][5]
参考资料
- NIST/SEMATECH：What is Process Capability?，能力指数公式、单侧规格及分布条件。
- Minitab：Specification limits in capability analysis，规格限、控制限与物理边界。
- Minitab：Methods and formulas for methods used in Normal Capability Analysis，组内与整体标准差估计及d₂系数。
- Minitab：Potential (within) capability for Normal Capability Analysis，Cp、Cpk和置信区间的解释。
- Minitab：Overall capability for Normal Capability Analysis，Pp、Ppk与整体波动。
- Minitab：正态能力分析的数据注意事项，取样、稳定性与分布适用条件。
- Minitab：About measurement systems analysis，测量系统对观测变异的影响。
- Minitab：Select the analysis options for Normal Capability Analysis，能力指标命名与分析设置。
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